שבר עשרוני מחזורי כסכום של סדרה הנדסית אין־סופיתסדרות 571 · שיעור 49
סדרות · שאלון 571
שיעור 49: שבר עשרוני מחזורי כסכום של סדרה הנדסית אין־סופית
פרק 8 – מה נוסף ב־5 יחידות (סעיפים מבגרויות 571)
1נוסח השאלה
2סעיף א – 0.777…
3סעיף ב – 0.363636…
4סעיף ג – 1.2555…
5סעיף ד – 0.999… = 1
📄 נוסח השאלה
א. כתבו את המספר 0.777… (הספרה 7 חוזרת בלי סוף) כסכום של סדרה הנדסית אין־סופית, ומצאו אותו כשבר פשוט.
ב. כתבו את המספר 0.363636… (הספרות 36 חוזרות) כשבר פשוט, בעזרת סדרה הנדסית אין־סופית.
ג. כתבו את המספר 1.2555… (רק הספרה 5 חוזרת) כשבר פשוט.
ד. הוכיחו בעזרת סדרה הנדסית אין־סופית ש־0.999… = 1.
סעיף א – 0.777…
נפרק את המספר לפי הספרות:
0.777… = 0.7 + 0.07 + 0.007 + …
a1 = 0.7 q = 0.070.7 = 0.1
📐 מנת הסדרה ההנדסית
המנה 0.1 מקיימת −1 < q < 1: האיברים הולכים וקטנים ושואפים לאפס, ולכן לסדרה יש סכום.
S = 0.71 − 0.1 = 0.70.9 = 79
📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית
✅ פתרון סופי: 0.777… = 79
📐 מנת הסדרה ההנדסית
q = an + 1an
📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית
S = a11 − q , −1 < q < 1
סעיף ב – 0.363636…
0.363636… =
0.36 + 0.0036 + 0.000036 + …
a1 = 0.36 q = 0.00360.36 = 0.01
📐 מנת הסדרה ההנדסית
S = 0.361 − 0.01 = 0.360.99 = 3699
📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית
נצמצם ב־9:
3699 = 411
📐 מנת הסדרה ההנדסית
q = an + 1an
📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית
S = a11 − q , −1 < q < 1
סעיף ב – 0.363636… · המשך
3699 = 411
✅ פתרון סופי: 0.363636… = 411
סעיף ג – 1.2555…
החלק 1.2 לא חוזר. רק מה שאחריו הוא סדרה הנדסית:
1.2555… =
1.2 + (0.05 + 0.005 + …)
a1 = 0.05 q = 0.0050.05 = 0.1
📐 מנת הסדרה ההנדסית
S = 0.051 − 0.1 = 0.050.9 = 590 = 118
📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית
1.2555… = 1.2 + 118 = 65 + 118
📐 מנת הסדרה ההנדסית
q = an + 1an
📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית
S = a11 − q , −1 < q < 1
סעיף ג – 1.2555… · המשך
1.2555… = 1.2 + 118 = 65 + 118
= 10890 + 590 = 11390
✅ פתרון סופי: 1.2555… = 11390
סעיף ד – 0.999… = 1
0.999… = 0.9 + 0.09 + 0.009 + …
a1 = 0.9 q = 0.1
📐 מנת הסדרה ההנדסית
S = 0.91 − 0.1 = 0.90.9 = 1
📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית
הסכום של אינסוף האיברים הוא בדיוק 1. כל סכום חלקי קטן מ־1, אבל ההפרש 0.1n שואף לאפס, ולכן הסכום האין־סופי שווה ל־1.
✅ פתרון סופי: 0.999… = 1
📐 מנת הסדרה ההנדסית
q = an + 1an
📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית
S = a11 − q , −1 < q < 1
📌 סיכום התשובות
סעיף א
79
סעיף ב
411
סעיף ג
11390
סעיף ד
1
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא